Question

已知两定点F₁(-,0),F₂(,0)满足条||-||=2的点P的轨迹是曲线C,直线y=kx-2与曲线C交于A、B两点,且|AB|=.

(1)求曲线C的方程;

(2)若曲线C上存在一点D,使+=m,求m的值及点D到直线AB的距离.

Answer 1

解:(1)由双曲线的定义可知曲线C是以F₁(-,0),F₂(,0)为焦点的双曲线的左半支,

且c=,2a=2,a=1,故b=1,所以轨迹C的方程是x²-y²=1(x＜0).

(2)设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),由题意得方程组

消去y,得(1-k²)x²+4kx-5=0.

又已知直线与曲线C交于A、B两点,故有

解得-＜k＜-1.

∵|AB|=|x₂-x₁|

=·=2=,∴.

设t=k²,得7t²-23t-20=0,(t-4)(7t+5)=0.

∴t=4,t=(舍去).

又由k²=4,舍去k=2,得k=-2,于是直线AB的方程为y=-2x-2,

即2x+y+2=0.

由解得.

不妨设=（-1，0），=（，）,由+=m,故有=(,).

将D点坐标代入曲线C的方程,得=1.解得m=±,但当m=时,点D在双曲线右支上,不合题意,∴m=.

点D的坐标为（,),D到AB的距离为.