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(理)已知⊙和定点,由⊙外一点向⊙引切线,切点为,且满足
(1)求实数间满足的等量关系;
(2)求线段长的最小值;
(3)若以为圆心所作的⊙与⊙有公共点,试求半径取最小值时的⊙方程.

(1);(2);(3)

解析试题分析:(1)连接OP,OQ,

,在中,,且 ,结合两点之间距离公式可得关于的等式;(2)在中,,是含有的二元函数,结合(1)可得关于的一元函数,求其最小值即可;(3)方法一:因为⊙与⊙有公共点,则得圆心距和其半径的关系,要求半径的最小值,只需最小,将用两点之间距离公式表示出来,求其最小值并求取的最小值时,得⊙的圆心,进而求出圆的标准方程;方法二:由(1)知⊙的圆心的轨迹方程为,过点作垂直于的垂线,垂足为,当两圆外切且以为圆心时,半径最小,此时,两条直线求交点确定圆心,从而求出圆的 标准方程.
试题解析:(1)连为切点,,由勾股定理有,又由已知,故.即:,化简得实数a、b间满足的等量关系为:;(2)由,得=
,故当时,即线段PQ长的最小值为 ;
(3)方法一:设圆P的半径为圆P与圆O有公共点,圆O的半径为1,,而,故当时,此时, ,得半径取最小值时圆P的方程为
方法二:圆与圆有公共点,圆 半径最小时为与圆外切(取小者)的情形,而这些半径的最小值为圆心到直线的距离减去1,圆心为过原点与垂直的直线 与的交点 ,又:x-2y = 0,解方程组,得.即,∴所求圆方程为.

考点:1、两点之间距离公式;2、两圆的位置关系;3、函数的最值.

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