Question

已知,分别是椭圆的左、右焦点,关于直线的对称点是圆的一条直径的两个端点.
(Ⅰ)求圆的方程;
(Ⅱ)设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为,.当最大时,求直线的方程.

Answer 1

（Ⅰ）圆的方程为；（Ⅱ）直线的方程是

解析试题分析：（Ⅰ）求圆的方程，圆的直径为，它的圆心为的中点关于直线的对称点，故本题先求出的长，从而得半径，的中点，只需求出它关于直线的对称点，求点关于线对称的方法为：两点连线垂直对称轴，两点的中点在对称轴上，这样求出圆心，从而可以写出圆的方程；（Ⅱ）设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为,.当最大时,求直线的方程，这是直线与二次曲线的位置关系问题，可采用设而不求的方法来解，设直线方程为:，设直线与椭圆相交与点利用弦长公式求出的值，根据圆的性质求出的值，从而得，可用基本不等式确定最大值时的的值，就得直线方程．
试题解析：(Ⅰ) 设圆和圆关于直线对称,由题意知圆的直径为所以圆心，半径，圆心与圆心关于直线对称，故圆的方程为；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知(2,0), 设直线方程为:，圆心到直线的距离，由垂径定理和勾股定理得：. 设直线与椭圆相交与点 由 得：  由韦达定理可得：依题意可知： 
，令在 单调递增，在单调递减， 当时，取得最大值，此时直线的方程是，所以当取得最大值时，直线的方程是
考点：椭圆的方程、圆的方程、直线与椭圆的位置关系、直线的方程．