Question

【题目】如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝AB.

（1）证明：BC1∥平面A1CD；

（2）求二面角D－A1C－E的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）.

【解析】

（1）记，连接，再利用中位线的相关性质即可证明线面平行；

（2）根据位置关系建立空间直角坐标系，根据平面法向量的夹角的余弦值并结合图形，即可计算出二面角的余弦值.

（1）记，连接，如图所示：

因为几何体是直三棱柱，所以四边形是矩形，所以为中点，

又因为为中点，所以，

又因为平面，平面，

所以平面；

（2）因为，所以，所以是等腰直角三角形，

所以建立空间直角坐标系如下图所示：

设，则，所以，

所以，

设平面一个法向量为，平面一个法向量为，

所以，所以，令，所以，

又，所以，令，所以，

所以，由图可知二面角为锐二面角，

所以二面角的余弦值为.