Question

8．在△ABC中，$\overrightarrow{m}$=（cos$\frac{C}{2}$，sin$\frac{C}{2}}$），$\overrightarrow{n}$=（cos$\frac{C}{2}$，-sin$\frac{C}{2}}$），且m和n的夹角为$\frac{π}{3}$．
（1）求角C；
（2）若c=$\sqrt{7}$，且△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求a+b的值．

Answer 1

分析 （1）由向量的数量积的定义和坐标表示，计算即可得到角C；
（2）由已知利用三角形面积公式可求ab=6，运用余弦定理可得a²+b²-ab=7，化简计算即可得到a+b．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（cos$\frac{C}{2}$，sin$\frac{C}{2}}$），$\overrightarrow{n}$=（cos$\frac{C}{2}$，-sin$\frac{C}{2}}$），且m和n的夹角为$\frac{π}{3}$．
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=cos²$\frac{C}{2}$-sin²$\frac{C}{2}$=1×1×cos$\frac{π}{3}$，
∴解得：cosC=$\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，
∴C=$\frac{π}{3}$．…（5分）
（2）∵c=$\sqrt{7}$，C=$\frac{π}{3}$，由面积公式得  $\frac{1}{2}$absin $\frac{π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，…（6分）
即ab=6．①…（8分）
由余弦定理得a²+b²-2abcos $\frac{π}{3}$=7，即a²+b²-ab=7，…（10分）
∴（a+b）²=7+3ab．②…（11分）
由①②得（a+b）²=25，故a+b=5．…（12分）

点评 本题考查向量的数量积的定义和坐标表示，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．