Question

4．若-$\frac{π}{2}$＜x＜0，当函数f（x）=$\frac{1+cos2x+1{8sin}^{2}x}{sin2x}$取最大值时，tan2x的值为（　　）

• A． -2
• B． -3
• C． -$\frac{1}{3}$
• D． -$\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 利用基本不等式求出函数f（x）的取最大值时tanx的值，代人即可求出tan2x的值．

解答 解：当-$\frac{π}{2}$＜x＜0时，tanx＜0，
∴函数f（x）=$\frac{1+cos2x+1{8sin}^{2}x}{sin2x}$
=$\frac{1+（{2cos}^{2}x-1）+1{8sin}^{2}x}{2sinxcosx}$
=$\frac{{2cos}^{2}x+1{8sin}^{2}x}{2sinxcosx}$
=$\frac{1+{9tan}^{2}x}{tanx}$
=$\frac{1}{tanx}$+9tanx
=-[$\frac{1}{-tanx}$+9（-tanx）]≤-3，
当且仅当tanx=-$\frac{1}{3}$时取“=”，
∴tan2x=$\frac{2tanx}{1{-tan}^{2}x}$=$\frac{2×（-\frac{1}{3}）}{1{-（-\frac{1}{3}）}^{2}}$=-$\frac{3}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查了三角函数的化简与计算问题，也考查了利用基本不等式求最值的应用问题，是基础题目．