Question

19．已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，记A（n）=a₁+a₂+…+a_n，B（n）=a₂+a₃+…+a_n+1，C（n）=a₃+a₄+…+a_n+2（n∈N^*），若对于任意n∈N^*，A（n），B（n），C（n）成等差数列，则A（n）=（　　）

• A． 3^n-1
• B． 2^n-1+n²-1
• C． 2n²-3n+2
• D． n²

Answer 1

分析 对于任意n∈N^*，A（n），B（n），C（n）成等差数列，可得：2B（n）=A（n）+C（n），化为：a_n+2-a_n+1=a₂-a₁=2，对于任意n∈N^*都成立．可得数列{a_n}是等差数列．

解答 解：∵对于任意n∈N^*，A（n），B（n），C（n）成等差数列，
∴2B（n）=A（n）+C（n），
∴2（a₂+a₃+…+a_n+1）=a₁+a₂+…+a_n+a₃+a₄+…+a_n+2，
化为：a₂+a_n+1=a₁+a_n+2，
即a_n+2-a_n+1=a₂-a₁=2，对于任意n∈N^*都成立．
∴数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为2．
∴A（n）=a₁+a₂+…+a_n=$n+\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²．
故选：D．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．