Question

11．n∈N，A=（$\sqrt{7}$+2）²ⁿ⁺¹，B为A的小数部分，则AB的值应是（　　）

• A． 7²ⁿ⁺¹
• B． 2²ⁿ⁺¹
• C． 3²ⁿ⁺¹
• D． 5²ⁿ⁺¹

Answer 1

分析 先由n=1，求得A和A的小数部分B，计算可得27，猜想AB=3²ⁿ⁺¹；再由二项式定理，对A=（$\sqrt{7}$+2）²ⁿ⁺¹，C=（$\sqrt{7}$-2）²ⁿ⁺¹，分析可得C即为B，进而化简计算即可得到结论．

解答 解：A=（$\sqrt{7}$+2）²ⁿ⁺¹，
令n=1，可得A=（$\sqrt{7}$+2）³=（$\sqrt{7}$）³+3•（$\sqrt{7}$）²•2+3•（$\sqrt{7}$）•2²+2³
=19$\sqrt{7}$+50，
又（$\sqrt{7}$-2）³=（$\sqrt{7}$）³-3•（$\sqrt{7}$）²•2+3•（$\sqrt{7}$）•2²-2³
=19$\sqrt{7}$-50∈（0，1），
可得B=19$\sqrt{7}$-50，AB=（19$\sqrt{7}$+50）（19$\sqrt{7}$-50）=27=3³=3²⁺¹．
猜想AB=3²ⁿ⁺¹；
由二项式定理可以看出，
A=（$\sqrt{7}$+2）²ⁿ⁺¹的展开式中所有奇数项均含有$\sqrt{7}$，所有偶数项均为整数，
我们假设所有奇数项的和为$\sqrt{7}$a，所有偶数项的和为b，
也就是A=（$\sqrt{7}$+2）²ⁿ⁺¹=$\sqrt{7}$a+b，
设C=（$\sqrt{7}$-2）²ⁿ⁺¹=$\sqrt{7}$a-b，
那么A+C=2$\sqrt{7}$a，A-C=2b，AC=7a²-b²，
由于0＜$\sqrt{7}$-2＜1，所以0＜C=（$\sqrt{7}$-2）²ⁿ⁺¹＜1，
而且当n＞1时C＜$\frac{1}{2}$，即$\sqrt{7}$a-b＜$\frac{1}{2}$，即2$\sqrt{7}$a-2b＜1，
充分说明C为A的小数部分，即C=B，
则AB=（$\sqrt{7}$+2）²ⁿ⁺¹•（$\sqrt{7}$-2）²ⁿ⁺¹
=[﹙$\sqrt{7}$+2﹚×﹙$\sqrt{7}$-2﹚]²ⁿ⁺¹=3²ⁿ⁺¹．
故选：C．

点评 本题考查二项式定理的运用，注意运用展开式中的各项的特点，考查运算能力，属于中档题．