Question

12．求定积分${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$$\sqrt{1-sin2x}$dx的值．

Answer 1

分析 利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系，将$\sqrt{1-sin2x}$转化成丨sinx-cosx丨，根据三角函数图象，去掉绝对值，将定积分化简${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$（cosx-sinx）+${∫}_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}$（sinx-cosx）dx，即可求得${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$$\sqrt{1-sin2x}$dx的值．

解答 解：${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$$\sqrt{1-sin2x}$dx=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$$\sqrt{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x-2sinxcosx}$dx=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$丨sinx-cosx丨dx
=${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$（cosx-sinx）+${∫}_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}$（sinx-cosx）dx
=（sinx+cosx）${丨}_{0}^{\frac{π}{4}}$+（-cosx-sinx）${丨}_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}$
=2$\sqrt{2}$-2，
∴${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$$\sqrt{1-sin2x}$dx=2$\sqrt{2}$-2．

点评 本题考查二倍角公式、三角函数图象与性质与定积分的综合运用，要求学生掌握含有绝对值的定积分的求法，属于中档题．