Question

5．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱长为$2\sqrt{3}$，在底面△ABC中，∠C=60°，$AB=\sqrt{3}$，则此直三棱柱的外接球的表面积为（　　）

• A． $4\sqrt{3}π$
• B． $\frac{16π}{3}$
• C． 16π
• D． $\frac{32π}{3}$

Answer 1

分析 由题意可知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC的小圆半径为1，连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，即可求出球的表面积．

解答 解：由题意可知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面小圆ABC的半径为$\frac{\sqrt{3}}{2•\frac{\sqrt{3}}{2}}$=1，
连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，外接球的半径为：$\sqrt{3+1}$=2，
外接球的表面积为：4π•2²=16π．
故选C．

点评 本题是中档题，考查直三棱柱的外接球的表面积的求法，解题的关键是外接球的半径，直三棱柱的底面中心的连线的中点与顶点的连线是半径，考查空间想象能力．