【题目】对于函数定义
已知偶函数
的定义域为
当
且
时,
(1)求并求出函数
的解析式;
(2)若存在实数使得函数
在
上的值域为
,求实数
的取值范围.
【答案】(1),
,
(2)
【解析】
(1)按的规律,逐步计算
观察发现对任意的
,有
从而求出
,由
是偶函数可求得函数
的解析式;
(2)由题意可知在
上递减且
,分
和
两种情况讨论,在
时得出
推出矛盾,在
时可将问题转化为
是方程
的两个不相等的负实数根,转化为一元二次方程
有两个不相等的负根,由根与系数的关系列出不等式组求出
的取值范围
(1)因为
故
故对任意的,有
于是
故当时,
又,故当
时,
由为偶函数,当
时,
因此,,即
;
(2)由于的定义域为
,
又可知
与b同号,且
,
函数的图象,如图所示
若,则
在
上单调递增,有
,
所以,解得
,不符合题意,舍去;
若,则
在
上单调递减,由题意,有
故是方程
的两个不相等的负实数根,即方程
在
上有
两个不相等的实根,于是
综合上述,实数的取值范围为
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】当前,以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进.高中联招对初三毕业学生进行体育测试,是激发学生、家长和学校积极开展体育活动,保证学生健康成长的有效措施.某地区2019年初中毕业生升学体育考试规定,考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试,三项考试满分为50分,其中立定跳远15分,掷实心球15分,1分钟跳绳20分.某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况,随机抽取了100名学生进行测试,得到如下频率分布直方图,且规定计分规则如下表:
每分钟跳 绳个数 | |||||
得分 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
(Ⅰ)现从样本的100名学生中,任意选取2人,求两人得分之和不大于33分的概率;
(Ⅱ)若该校初三年级所有学生的跳绳个数服从正态分布
,用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差(结果四舍五入到整数),已知样本方差
(各组数据用中点值代替).根据往年经验,该校初三年级学生经过一年的训练,正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步,假设明年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个,利用现所得正态分布模型:
(ⅰ)预估全年级恰好有1000名学生,正式测试时每分钟跳193个以上的人数.(结果四舍五入到整数)
(ⅱ)若在该地区2020年所有初三毕业生中任意选取3人,记正式测试时每分钟跳202个以上的人数为,求随机变量
的分布列和期望.
附:若随机变量服从正态分布
,
,则
,
,
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】数列满足
.
①存在可以生成的数列
是常数数列;
②“数列中存在某一项
”是“数列
为有穷数列”的充要条件;
③若为单调递增数列,则
的取值范围是
;
④只要,其中
,则
一定存在;
其中正确命题的序号为__________.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线的焦点为椭圆
的右焦点,且椭圆长轴的长为4,
、
是椭圆上的两点;
(1)求椭圆标准方程;
(2)若直线经过点
,且
,求直线
的方程;
(3)若动点满足:
,直线
与
的斜率之积为
,是否存在两个定点
、
,使得
为定值?若存在,求出
、
的坐标;若不存在,请说明理由;
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》,是屮国古代数学名著,程大位著.书中有如下问题:“今有五人均银四十两,甲得十两四钱,戊得五两六钱.问:次第均之,乙丙丁各该若干?”意思是:有5人分40两银子,甲分10两4钱,戊分5两6钱,且相邻两项差相等,则乙丙丁各分几两几钱?(注:1两等于10钱)( )
A.乙分8两,丙分8两,丁分8两B.乙分8两2钱,丙分8两,丁分7两8钱
C.乙分9两2钱,丙分8两,丁分6两8钱D.乙分9两,丙分8两,丁分7两
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列是公差
的等差数列,且
.
(1)求的前
项的和
;
(2)若,问在数列
中是否存在一项
(
是正整数),使得
成等比数列,若存在,求出
的值,若不存在,请说明理由;
(3)若存在自然数(
是正整数),满足
,使得
成等比数列,求所有整数
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设数列满足
,其中A,B是两个确定的实数,
(1)若,求
的前n项和;
(2)证明:不是等比数列;
(3)若,数列
中除去开始的两项外,是否还有相等的两项,并证明你的结论.
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【题目】现有流量均为的两条河流
汇合于某处后,不断混合,它们的含沙量分别为
和
.假设从汇合处开始,沿岸设有若干个观测点,两股水流在流往相邻两个观测点的过程中,其混合效果相当于两股水流在1秒内交换
的水量,其交换过程为从A股流入B股
的水量,经混合后,又从B股流入A股
水并混合,问从第几个观测点开始,两股河水的含沙量之差小于
.(不考虑泥沙沉淀).
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,三棱锥,侧棱
,底面三角形
为正三角形,边长为
,顶点
在平面
上的射影为
,有
,且
.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)线段上是否存在点
使得
⊥平面
,如果存在,求
的值;如果不存在,请说明理由.
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