【题目】当前,以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进.高中联招对初三毕业学生进行体育测试,是激发学生、家长和学校积极开展体育活动,保证学生健康成长的有效措施.某地区2019年初中毕业生升学体育考试规定,考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试,三项考试满分为50分,其中立定跳远15分,掷实心球15分,1分钟跳绳20分.某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况,随机抽取了100名学生进行测试,得到如下频率分布直方图,且规定计分规则如下表:
每分钟跳 绳个数 | |||||
得分 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
(Ⅰ)现从样本的100名学生中,任意选取2人,求两人得分之和不大于33分的概率;
(Ⅱ)若该校初三年级所有学生的跳绳个数服从正态分布
,用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差(结果四舍五入到整数),已知样本方差
(各组数据用中点值代替).根据往年经验,该校初三年级学生经过一年的训练,正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步,假设明年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个,利用现所得正态分布模型:
(ⅰ)预估全年级恰好有1000名学生,正式测试时每分钟跳193个以上的人数.(结果四舍五入到整数)
(ⅱ)若在该地区2020年所有初三毕业生中任意选取3人,记正式测试时每分钟跳202个以上的人数为,求随机变量
的分布列和期望.
附:若随机变量服从正态分布
,
,则
,
,
【答案】(Ⅰ),(Ⅱ)(ⅰ)
,(ⅱ)分布列见解析 ,
【解析】
(Ⅰ)根据频率分布直方图计算,每分钟跳绳个数的人数为
(人)每分钟跳绳个数
的人数为
(人),由题意可知,两人得分之和不大于33分,即两人得分均为16分,或两人中1人16分,1人17分,根据互斥事件概率加法公式,计算即可.
(Ⅱ)根据频率分布直方图计算样本的均值,可知正式测试时期望的估计值
,方差
,计算
,
,(ⅰ)根据正态分布的对称性,计算
,求解人数即可. (ⅱ)由正态分布模型,在该地区2020年初三毕业生中任取1人,每分钟跳绳个数202以上的概率为
,则
服从二项分布,即
,计算分布列和期望,即可.
(Ⅰ)由题意可知,得16分的人数为5人,得17分的人数为9人,两人得分之和不大于33分,即两人得分均为16分,或两人中1人16分,1人17分.
所以,两人得分之和不大于33分的概率为:.
(Ⅱ)(个)
又,
,所以正式测试时,
,
.
∴,
.
(ⅰ)∴,∴
(人).
(ⅱ)由正态分布模型,在该地区2020年初三毕业生中任取1人,每分钟跳绳个数202以上的概率为,即
.
∴,
,
,
,
∴的分布列为
0 | 1 | 2 | 3 | |
.
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【题目】已知函数.
(1)若,且
在
上存在零点,求实数
的取值范围;
(2)若对任意,存在
使
,求实数
的取值范围;
(3)若存在实数,使得当
时,
恒成立,求实数
的最大值.
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【题目】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2acosB=2c﹣b.
(1)求∠A的大小;
(2)若△ABC的外接圆的半径为,面积为
,求△ABC的周长.
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【题目】已知等差数列{bn}的前n项和为Tn,且T4=4,b5=6.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)若正整数n1,n2,…,nt,…满足5<n1<n2<…<nt,…且b3,b5,,
,…,
,…成等比数列,求数列{nt}的通项公式(t是正整数);
(3)给出命题:在公比不等于1的等比数列{an}中,前n项和为Sn,若am,am+2,am+1成等差数列,则Sm,Sm+2,Sm+1也成等差数列.试判断此命题的真假,并证明你的结论.
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【题目】已知椭圆:
过点
,过坐标原点
作两条互相垂直的射线与椭圆
分别交于
,
两点.
(1)证明:当取得最小值时,椭圆
的离心率为
.
(2)若椭圆的焦距为2,是否存在定圆与直线
总相切?若存在,求定圆的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】随着金融市场的发展,越来越多人选择投资“黄金”作为理财的手段,下面将A市把黄金作为理财产品的投资人的年龄情况统计如下图所示.
(1)求把黄金作为理财产品的投资者的年龄的中位数;(结果用小数表示,小数点后保留两位有效数字)
(2)现按照分层抽样的方法从年龄在和
的投资者中随机抽取5人,再从这5人中随机抽取3人进行投资调查,求恰有1人年龄在
的概率.
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【题目】如图,由半圆和部分抛物线
合成的曲线
称为“羽毛球开线”,曲线
与
轴有
两个焦点,且经过点
(1)求的值;
(2)设为曲线
上的动点,求
的最小值;
(3)过且斜率为
的直线
与“羽毛球形线”相交于点
三点,问是否存在实数
使得
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由。
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