Question

如图：已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B，C，∠APC的平分线分别交AB，AC于点D，E，．点G是线段ED的中点，AG的延长线与CP相交于点F．
（Ⅰ）证明：AF⊥ED；
（Ⅱ）当F恰为PC的中点时，求

PB

PC

的值．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：立体几何

分析：（Ⅰ）由弦切角定理得∠PAB=∠C，由角平分线性质得∠APE=∠CPE，从而∠ADE=∠AEP，由此能证明AF⊥ED．
（Ⅱ）由切割线定理得PA²=PB•PC，从而得到

1

4

PC2=PB•PC，由此能证明

PB

PC

=

1

4

．

解答： 选修4-1：几何证明选讲
（Ⅰ）证明：如图，直线PA与圆O相切于点A，
∴由弦切角定理得∠PAB=∠C，
∵∠APC的平分线分别交AB，AC于点D，E，∴∠APE=∠CPE，
∵∠ADE=∠PAB+∠APE，∠AEP=∠C+∠CPE，
∴∠ADE=∠AEP，
∵G是DE的中点，∴AF⊥ED．
（Ⅱ）∵直线PA与圆O相切于点A，
∴PA²=PB•PC，
∵PA=PF=

1

2

PC，
∴

1

4

PC2=PB•PC，∴PC=4PB，
∴

PB

PC

=

1

4

．

点评：本题考查两线段垂直的证明，考查两线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意弦切角定理和切割线定理的合理运用．