Question

已知函数f（x）=lnx+

a+1

x

-1（a＞-1）．
（Ⅰ）当a=0，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[e，+∞）时，有x•f（x）≥2a恒成立（e=2.71828…），求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的单调性及单调区间,函数单调性的判断与证明,函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）求出a=0的f（x）的解析式，注意x＞0，求出导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；
（Ⅱ）当x∈[e，+∞）时，有x•f（x）≥2a恒成立，即a≤xlnx-x+1在[e，+∞）恒成立．构造函数g（x）=xlnx-x+1，运用导数判断g（x）的单调性，求出最小值，即可得到a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）当a=0，f（x）=lnx+

1

x

-1（x＞0），
f′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
当x＞1时，f′（x）＞0，则f（x）在（1，+∞）上递增；
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，则f（x）在（0，1）上递减．
综上可得f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．
（Ⅱ）当x∈[e，+∞）时，有x•f（x）≥2a恒成立，
即为2a≤x（lnx+

a+1

x

-1）=xlnx-x+a+1，
即a≤xlnx-x+1在[e，+∞）恒成立．
令g（x）=xlnx-x+1，
g′（x）=lnx+x•

1

x

-1=lnx，
当x∈[e，+∞）时，g′（x）≥1＞0，
即g（x）在[e，+∞）递增，
则g（x）的最小值为g（e）=elne-e+1=1．
即有a≤1．

点评：本题主要考查导数的运用：求单调区间、求极值和最值，考查不等式的恒成立问题转化为求函数的最值问题，考查运算能力，属于中档题．