Question

已知函数f（x）=|2x-a|+a，a∈R，g（x）=|2x-1|．
（1）当a=-1时，解不等式f（x）+g（x）≤4；
（2）若当g（x）≤5时，恒有f（x）≤6，求a的最大值．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）当a=-1时，不等式f（x）+g（x）≤4，即|x+

1

2

|+|x-

1

2

|≤

5

2

，再根据绝对值的意义求得它的解集．
（2）由g（x）≤5，求得-2≤x≤3；由f（x）≤6可得a-3≤x≤3．根据题意可得，a-3≤-2，由此求得a的最大值．

解答： 解：（1）当a=-1时，不等式f（x）+g（x）≤4，即|2x+1|-1+|2x-1|≤4，
即|x+

1

2

|+|x-

1

2

|≤

5

2

．
由于|x+

1

2

|+|x-

1

2

|表示数轴上的x对应点到-

1

2

、

1

2

对应点的距离之和，
而

5

4

和-

5

4

对应点到-

1

2

、

1

2

对应点的距离之和正好等于

5

2

，故不等式的解集为[-

5

4

，

5

4

]．
（2）g（x）≤5，即|2x-1|≤5，求得-2≤x≤3．
由f（x）≤6可得|2x-a|≤6-a，即 a-6≤2x-a≤6-a，即a-3≤x≤3．
根据题意可得，a-3≤-2，求得a≤1，故a的最大值为1．

点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于中档题．