Question

已知（x，y）满足不等式

2x-3y+2≥0 3x-y-4≤0 x+2y+1≥0

，z=x+ay，当且仅当在点（2，2）取得最大值，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（-∞，-

  1

  3

  ）
• B、（-

  1

  2

  ，-

  1

  3

  ）
• C、（-

  1

  2

  ，+∞）
• D、（-

  1

  3

  ，+∞）

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值范围．

解答： 解：作出不等式对应的平面区域，
当a=0时，z=x，即x=z，此时不成立．
由z=x+ay得y=-

1

a

x+

z

a

，
要使目标函数z=x+ay仅在点（2，2）处取得最大值，
若a=0，则目标函数为x=a，此时满足条件．
若a＞0，则目标函数的斜率k=-

1

a

＜0．目标函数的截距最大，此时z最大，满足条件，
若a＜0，即目标函数的斜率k=-

1

a

＞0，
要使条件成立，满足k＞k_AB，
即-

1

a

＞3，
∴a＞-

1

3

，
综上a＞-

1

3

，
故实数a的取值范围是（-

1

3

，+∞），
故选：D

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．根据条件目标函数z=x+y仅在点P（2，2）处取得最大值，确定直线的位置是解决本题的关键．