Question

已知焦点在x轴的双曲线上一点P到双曲线两个焦点的距离分别为4和8，直线y=x-2被双曲线截得的弦长为20

2

，求双曲线的标准方程．

Answer 1

考点：双曲线的标准方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用双曲线上一点P到双曲线两个焦点的距离分别为4和8，求出a，直线y=x-2代入

x2

4

-

y2

b2

=1可得（b²-4）x²+16x-16-4b²=0，利用直线y=x-2被双曲线截得的弦长为20

2

，求出b，即可求双曲线的标准方程．

解答： 解：设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），则
∵双曲线上一点P到双曲线两个焦点的距离分别为4和8，
∴2a=8-4，
∴a=2，
∴双曲线方程为

x2

4

-

y2

b2

=1，
直线y=x-2代入

x2

4

-

y2

b2

=1可得（b²-4）x²+16x-16-4b²=0，
设交点为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

16

b2-4

，x₁x₂=

-16-4b2

b2-4

，
∴（20

2

）²=（1+1）•[（-

16

b2-4

）²-4×

-16-4b2

b2-4

]，
∴b²=20，
∴双曲线方程为

x2

4

-

y2

20

=1．

点评：本题考查求双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．