Question

在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，设A点的极坐标为（2，

3π

4

）．
（1）求直线OA及曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线OA与曲线C的一个交点为P（不是原点O），过点P作直线OA的垂线l，求直线l的极坐标方程．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，化为ρ²=2ρsinθ，利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可得出直角坐标方程．由A点的极坐标为（2，

3π

4

），可得直角坐标为(2cos

3π

4

，2sin

3π

4

)，利用点斜式可得可得直线OA的方程．
（2）把直线OA的方程与曲线C的方程联立可得P（-1，1）．利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得直线l的斜率，利用点斜式可得直角坐标方程，利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可得出直线l的极坐标方程．

解答： 解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，化为ρ²=2ρsinθ，可得直角坐标方程：x²+y²=2y．
由A点的极坐标为（2，

3π

4

），可得直角坐标为(2cos

3π

4

，2sin

3π

4

)，化为A(-

2

，

2

)，可得直线OA的方程为y=-x．
（2）联立

y=-x x2+y2=2y

，x≠0，解得

x=-1 y=1

，
∴P（-1，1）．
∵直线OA的斜率为-1，OA⊥l，
∴k_l=1．
∴直线l的方程为：y-1=x+1，化为x-y+2=0．
∴直线l的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ+2=0．

点评：本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线与圆的交点、点斜式，考查了计算能力，属于基础题．