Question

已知点（2，3）在双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上，双曲线C的焦距为4．求
（Ⅰ）双曲线的标准方程；
（Ⅱ）双曲线的实轴长和虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由双曲线C的焦距为4，则c=2，可得a，b的方程，再由点（2，3）代入双曲线方程，可得a，b的又一方程，解得a，b，即可得到双曲线的方程；
（Ⅱ）求得双曲线x²-

y2

3

=1的a=1，b=

3

，c=2，e=

c

a

=2，即可得到双曲线的实轴长和虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．

解答： 解：（Ⅰ）由双曲线C的焦距为4，则c=2，
即有a²+b²=4，
又

4

a2

-

9

b2

=1，
解得a=1，b=

3

，
即有双曲线的方程为x²-

y2

3

=1；
（Ⅱ）双曲线x²-

y2

3

=1的a=1，b=

3

，c=2，e=

c

a

=2，
则双曲线的实轴长为2，虚轴长为2

3

，
焦点坐标为（-2，0），（2，0），离心率为2，渐近线方程为y=±

3

x．

点评：本题考查双曲线的方程的求法，考查双曲线的基本性质，属于基础题．