某公司生产一种硬纸片包装盒.如图.把正方形ABCD切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形.沿虚线折起使ABCD四个点重合.形成如图所示的正四棱柱包装盒.E.F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点.设AB=40cm.AE=xcm(1)要使包装盒侧面积S(cm2)最大.则x应取何值?(2)要使包装盒容积V(cm3)最大.则x应取何值?并求出� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

某公司生产一种硬纸片包装盒，如图，把正方形ABCD切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，沿虚线折起使ABCD四个点重合，形成如图所示的正四棱柱包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AB=40cm，AE=xcm

（1）要使包装盒侧面积S（cm²）最大，则x应取何值？
（2）要使包装盒容积V（cm³）最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,基本不等式在最值问题中的应用

专题：应用题,导数的综合应用

分析：（1）可设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），写出a，h与x的关系式，并注明x的取值范围．再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积S关于x的函数解析式，最后求出何时它取得最大值即可；
（2）利用体积公式表示出包装盒容积V关于x的函数解析式，最后利用导数知识求出何时它取得的最大值即可．

解答： 解：（1）设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），
由已知得a=

x，h=

40-2x

(20-x)，0＜x＜20．…（3分）（不写定义域扣1分）
S=4ah=8x（20-x）=-8（x-10）²+800…（5分）
所以当x=10时，S取得最大值．…（6分）
（2）V=a2h=2x2•

40-2x

(20x2-x3)…（8分）
V′=2

(40x-3x2)=2

x(40-3x)…（9分）
由V′=0得x=0（舍）或x=

当x∈(0，

)时V'＞0，当x∈(

，20)时V'＜0
所以当x=

时，V取得极大值，也是最大值．…（11分）
此时

，即包装盒的高与底面边长的比值为

．…（12分）

点评：本题考查函数模型的选择与应用，考查函数、导数等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力．属于中档题．

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