Question

定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f(x)=1+a•(

1

2

)x+(

1

4

)x；g(x)=

1-m•2x

1+m•2x

．
（1）当a=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；
（3）若m＞0，函数g（x）在[0，1]上的上界是T（m），求T（m）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=1时，易知f（x）在（-∞，0）上递减，有f（x）＞f（0）=3，再有给出的定义判断；
（2）由函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，结合定义则有|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，再转化为-4•2x-(

1

2

)x≤a≤2•2x-(

1

2

)x在[0，+∞）上恒成立分别求得[-4•2x-(

1

2

)x]max  和[2•2x-(

1

2

)x]min即可；
（3）据题意先研究函数g（x）在[0，1]上的单调性，确定函数g（x）的范围，即分别求的最大值和最小值，根据上界的定义，T（m）不小于最大值，从而解决．

解答：解：（1）当a=1时，f(x)=1+(

1

2

)x+(

1

4

)x
因为f（x）在（-∞，0）上递减，所以f（x）＞f（0）=3，
即f（x）在（-∞，1）的值域为（3，+∞）故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立
所以函数f（x）在（-∞，1）上不是有界函数．（4分）
（2）由题意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立．（5分）
-3≤f（x）≤3，-4-(

1

4

)x≤a•(

1

2

)x≤2-(

1

4

)x
∴-4•2x-(

1

2

)x≤a≤2•2x-(

1

2

)x在[0，+∞）上恒成立（6）
∴[-4•2x-(

1

2

)x]max≤a≤[2•2x-(

1

2

)x]min（7分）
设2^x=t，h(t)=-4t-

1

t

，p(t)=2t-

1

t

，由x∈[0，+∞）得t≥1，
设1≤t₁＜t₂，h(t1)-h(t2)=

(t2-t1)(4t1t2-1)

t1t2

＞0p(t1)-p(t2)=

(t1-t2)(2t1t2+1)

t1t2

＜0
所以h（t）在[1，+∞）上递减，p（t）在[1，+∞）上递增，（9分）
h（t）在[1，+∞）上的最大值为h（1）=-5，p（t）在[1，+∞）上的最小值为p（1）=1
所以实数a的取值范围为[-5，1]．（10分）
（3）g(x)=-1+

2

m•2x+1

，
∵m＞0，x∈[0，1]
∴g（x）在[0，1]上递减，（12分）
∴g（1）≤g（x）≤g（0）即

1-2m

1+2m

≤g(x)≤

1-m

1+m

（13分）
①当|

1-m

1+m

|≥|

1-2m

1+2m

|，即m∈(0，

2

2

]时，|g(x)|≤|

1-m

1+m

|，（12分）
此时T(m)≥|

1-m

1+m

|，（14分）
②当|

1-m

1+m

|＜|

1-2m

1+2m

|，即m∈[

2

2

，+∞)时，|g(x)|≤|

1-2m

1+2m

|，
此时T(m)≥|

1-2m

1+2m

|，
综上所述，当m∈(0，

2

2

]时，T（m）的取值范围是[|

1-m

1+m

|，+∞)；
当m∈[

2

2

，+∞)时，T（m）的取值范围是[

1-2m

1+2m

，+∞）（16分）

点评：本题主要考查情境题的解法，在解决中要通过给出的条件转化为已有的知识和方法去解决，本题主要体现了定义法，恒成立和最值等问题，综合性强，要求学生在学习中要有恒心和毅力．