Question

已知圆O：x²+y²=1和点M（1，4）．
（1）过点M向圆O引切线，求切线的方程；
（2）求以点M为圆心，且被直线y=2x-8截得的弦长为8的圆M的方程．

Answer 1

考点：圆的切线方程

专题：直线与圆

分析：（1）当直线无斜率时，方程为x=1，满足题意；当直线有斜率时，设直线方程为y-4=k（x-1），由点到直线的距离公式可得k值，可得方程；
（2）设以点M为圆心的圆的半径为r，由题意可得圆心M到直线2x-y-8=0的距离d满足r²=d²+4²，由点到直线的距离公式可得d值，可得答案．

解答： 解：（1）当直线无斜率时，方程为x=1，满足直线与圆相切；
当直线有斜率时，设直线方程为y-4=k（x-1），即kx-y-k+4=0，
由相切和点到直线的距离公式可得

|-k+4|

k2+(-1)2

=1，解得k=

15

8

，
代入可得直线方程为y-4=

15

8

（x-1），即15x-8y+17=0，
∴所求切线的方程为x=1或15x-8y+17=0；
（2）设以点M为圆心的圆的半径为r，
∵该圆被直线y=2x-8截得的弦长为8，
∴圆心M到直线2x-y-8=0的距离d满足r²=d²+4²，
由点到直线的距离公式可得d=

|2×1-4-8|

22+(-1)2

=

10

5

，
∴r²=d²+4²=36
∴圆M的方程为（x-1）²+（y-4）²=36．

点评：本题考查直线圆的位置关系，涉及直线与圆的相切问题，属中档题．