Question

19．已知命题p：f（x）=lnx+2x²+6mx+1在（0，+∞）上单调递增，q：m≥-5，则p是q的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 命题p：f′（x）=$\frac{1}{x}$+4x+6m，由f（x）=lnx+2x²+6mx+1，在（0，+∞）上单调递增，$\frac{1}{x}$+4x+6m≥0，化为：6m≥-4x-$\frac{1}{x}$=g（x），利用导数研究其单调性极值与最值，可得m的取值范围，即可判断出结论．

解答 解：命题p：f′（x）=$\frac{1}{x}$+4x+6m，由f（x）=lnx+2x²+6mx+1，在（0，+∞）上单调递增，
∴$\frac{1}{x}$+4x+6m≥0，化为：6m≥-4x-$\frac{1}{x}$=g（x），
g′（x）=-4+$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{-4（x+\frac{1}{2}）（x-\frac{1}{2}）}{{x}^{2}}$，可得：当x=$\frac{1}{2}$时，函数g（x）取得极大值即最大值，g（$\frac{1}{2}$）=-4，
∴m≥-$\frac{2}{3}$．
∴p是q的充分不必要条件．
故选：A．

点评 本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．