Question

9．设f（x）=xln x-ax²+（2a-1）x，a∈R．
（1）令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；
（2）已知f（x）在x=1处取得极大值，求正实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数g（x）的单调区间即可；
（2）通过讨论a的范围，得到函数f（x）的单调区间，结合函数的极大值，求出a的范围即可．

解答 解：（1）由f′（x）=ln x-2ax+2a，
可得g（x）=ln x-2ax+2a，x∈（0，+∞），
所以g′（x）=$\frac{1}{x}$-2a=$\frac{1-2ax}{x}$，
当a≤0，x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；
当a＞0，x∈（0，$\frac{1}{2a}$）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，
x∈（$\frac{1}{2a}$，+∞）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．
所以当a≤0时，g（x）的单调增区间为（0，+∞）；
当a＞0时，g（x）的单调增区间为（0，$\frac{1}{2a}$），单调减区间为（$\frac{1}{2a}$，+∞）．…（6分）
（2）由（1）知，f′（1）=0．
①当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{2a}$＞1，由（1）知f′（x）在（0，$\frac{1}{2a}$）内单调递增，
可得当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，$\frac{1}{2a}$）时，f′（x）＞0．
所以f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，$\frac{1}{2a}$）内单调递增，
所以f（x）在x=1处取得极小值，不合题意．
②当a=$\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{2a}$=1，f′（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递减，
所以当x∈（0，+∞）时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，不合题意．
③当a＞$\frac{1}{2}$时，0＜$\frac{1}{2a}$＜1，当x∈（$\frac{1}{2a}$，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
所以f（x）在x=1处取极大值，符合题意．
综上可知，正实数a的取值范围为（$\frac{1}{2}$，+∞）．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．