Question

【题目】在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.

（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）过原点的直线与直线交于点，与曲线交于、两点，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）在直线的参数方程中消去参数可得到直线的普通方程，由极坐标方程与普通方程之间的转换关系可将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线的极坐标方程为，设点、、，求得，将直线的极坐标方程与曲线的极坐标方程联立，列出韦达定理，进而可计算得出的值.

（Ⅰ）在直线的参数方程中消去参数，可得直线的普通方程为，

由可得出曲线的直角坐标方程为，即；

（Ⅱ）设直线的极坐标方程为，设点、、，

将直线的普通方程化为极坐标方程得，

将点的极坐标代入直线的极坐标方程得，

将直线的极坐标方程代入曲线的极坐标方程得，

由韦达定理得，，

所以，.