Question

【题目】已知关于x的函数与在区间D上恒有．

（1）若，求h(x)的表达式；

（2）若，求k的取值范围；

（3）若求证：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明详见解析

【解析】

（1）求得与的公共点，并求得过该点的公切线方程，由此求得的表达式.

（2）先由，求得的一个取值范围，再由，求得的另一个取值范围，从而求得的取值范围.

（3）先由，求得的取值范围，由方程的两个根，求得的表达式，利用导数证得不等式成立.

（1）由题设有对任意的恒成立.

令，则，所以.

因此即对任意的恒成立，

所以，因此.

故.

（2）令，.

又.

若，则在上递增，在上递减，则，即，不符合题意.

当时，，符合题意.

当时， 在上递减，在上递增，则，

即，符合题意.

综上所述，.

由

当，即时，在为增函数，

因为，

故存在，使，不符合题意.

当，即时，，符合题意.

当，即时，则需，解得.

综上所述，的取值范围是.

（3）因为对任意恒成立，

对任意恒成立，

等价于对任意恒成立.

故对任意恒成立.

令，

当，，

此时，

当，，

但对任意的恒成立.

等价于对任意的恒成立.

的两根为，

则，

所以.

令，则.

构造函数，，

所以时，，递减，.

所以，即.