【题目】已知函数(
R).
(1)当时,求函数
的单调区间;
(2)若对任意实数,当
时,函数
的最大值为
,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)函数的单调递增区间为
和
,单调递减区间为
;(Ⅱ)
【解析】
试题(1)求函数的单调区间,实质上就是解不等式得增区间,解不等式
得减区间;(2)函数的最大值一般与函数的单调性联系在一起,本题中
,其单调性要对
进行分类,
时,函数
在
上单调递增,在
上单调递减,不合题意,故有
,按极值点
与0的大小分类研究单调性有最大值.
试题解析:(1)当时,
,
则,
令,得
或
;令
,得
,
∴函数的单调递增区间为
和
,单调递减区间为
.
(2)由题意,
(1)当时,函数
在
上单调递增,在
上单调递减,此时,不存在实
数,使得当
时,函数
的最大值为
.
(2)当时,令
,有
,
,
①当时,函数
在
上单调递增,显然符合题意.
②当即
时,函数
在
和
上单调递增,
在上单调递减,
在
处取得极大值,且
,
要使对任意实数,当
时,函数
的最大值为
,
只需,解得
,又
,
所以此时实数的取值范围是
.
③当即
时,函数
在
和
上单调递增,
在上单调递减,要存在实数
,使得当
时,
函数的最大值为
,需
,
代入化简得,①
令,因为
恒成立,
故恒有,所以
时,①式恒成立,
综上,实数的取值范围是
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示.O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形DEFG为矩形,BC⊥DG,垂足为C,tan∠ODC=,
,EF=12 cm,DE=2 cm,A到直线DE和EF的距离均为7 cm,圆孔半径为1 cm,则图中阴影部分的面积为________cm2.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆:
的左焦点
,点
在椭圆
上.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)经过圆:
上一动点
作椭圆
的两条切线,切点分别记为
,
,直线
,
分别与圆
相交于异于点
的
,
两点.
(i)当直线,
的斜率都存在时,记直线
,
的斜率分别为
,
.求证:
;
(ii)求的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在边长为4的正三角形中,E为边
的中点,过E作
于D.把
沿
翻折至
的位置,连结
.翻折过程中,其中正确的结论是( )
A.;
B.存在某个位置,使;
C.若,则
的长是定值;
D.若,则四面体
的体积最大值为
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中,众多群众在脸上贴着一颗红心,以此表达对祖国的热爱之情,在数学中,有多种方程都可以表示心型曲线,其中有著名的笛卡尔心型曲线,如图,在直角坐标系中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线,其极坐标方程为(
),M为该曲线上的任意一点.
(1)当时,求M点的极坐标;
(2)将射线OM绕原点O逆时针旋转与该曲线相交于点N,求
的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,曲线
(t为参数),曲线
,(
为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)求曲线,
的极坐标方程;
(2)射线分别交
,
于A,B两点,求
的最大值.
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【题目】某校为举办甲、乙两项不同活动,分别设计了相应的活动方案:方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持,对学生进行简单随机抽样,获得数据如下表:
男生 | 女生 | |||
支持 | 不支持 | 支持 | 不支持 | |
方案一 | 200人 | 400人 | 300人 | 100人 |
方案二 | 350人 | 250人 | 150人 | 250人 |
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.
(Ⅰ)分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率;
(Ⅱ)从该校全体男生中随机抽取2人,全体女生中随机抽取1人,估计这3人中恰有2人支持方案一的概率;
(Ⅲ)将该校学生支持方案的概率估计值记为,假设该校一年级有500名男生和300名女生,除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为
,试比较
与
的大小.(结论不要求证明)
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