Question

设函数f（x）=|2x+1|-|x-4|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；
（Ⅱ）若f（x）+3|x-4|＞m对一切实数x均成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）通过对x的取值范围的分类讨论，去掉绝对值符号，解相应的一次不等式，最后取并集即可；
（Ⅱ）利用绝对值的三角不等式可求得f（x）+3|x-4|的最小值，从而可得m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）当x≥4时，f（x）=2x+1-（x-4）=x+5＞0，得x＞-5，所以x≥4；
当-

1

2

≤x＜4时，f（x）=2x+1+x-4=3x-3＞0，得x＞1，所以1＜x＜4；
当x＜-

1

2

时，f（x）=-x-5＞0，得x＜-5，所以x＜-5；
综上，原不等式的解集为{x|x＞1或x＜-5}…5分
（Ⅱ）f（x）+3|x-4|=|2x+1|+2|x-4|≥|2x+1-（2x-8）|=9，当-

1

2

≤x＜4时等号成立，
所以m＜9，即m的取值范围是（-∞，9）…10分

点评：本题考查绝对值不等式的解法，熟练应用绝对值三角不等式得到f（x）+3|x-4|≥9是关键，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．