Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x²，当x＞0时，f（x+1）=f（x）+f（1），若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有3个不同的公共点，则实数k的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：求出函数在x∈[1，2]的函数的解析式，通过函数的奇偶性，求出函数在x∈[1，2]相切，求出切线的斜率即可求出实数k的最大值．

解答： 解：当0≤x≤1时，f（x）=x²，
∴f（1）=1，
∵当x＞0时，f（x+1）=f（x）+f（1），
∴当1≤x≤2时，f（x）=f（x-1）+f（1）=（x-1）²+1，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有3个不同的公共点，
∴x＞0时，两个函数的图象，只有2个交点，如图：
设切点为（a，f（a））．
f′（x）=2x-2．
则：

a2-2a+2

a

=2a-2，解得a=

2

．
∴k=2

2

-2．
∴当0＜k＜2

2

-2．
此时有1个交点，x＜0时，也有1个交点，x=0也是交点，
∴直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有3个不同的公共点，实数k的取值范围为：0＜k＜2

2

-2
故答案为：0＜k＜2

2

-2

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数的零点与方程根的关系，考查函数的对称性、周期性、奇偶性的综合应用，考查转化思想与作图能力，属于难题．