Question

如图，在△ABC中，点D在BC边上，AD=33，sin∠BAD=

5

13

，cos∠ADC=

3

5

．
（Ⅰ）求sin∠ABD的值；   
（Ⅱ）求△ABD的面积．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）由条件求得cos∠ADB和sin∠ADB、cos∠BAD的值，再根据sin∠ABD=sin（π-∠ADC-∠BAD）=sin（∠ADC+∠BAD），再利用两角和的正弦公式计算求得结果．
（Ⅱ）△ABD中，由正弦定理求得AB=52，根据△ABD的面积为S=

1

2

•AB•AD•sin∠BAD，计算求得结果．

解答： 解：（Ⅰ）如图，在△ABC中，∵cos∠ADC=

3

5

，∴cos∠ADB=-

3

5

，sin∠ADB=

4

5

．
∵sin∠BAD=

5

13

，∴cos∠BAD=

12

13

．
∴sin∠ABD=sin（π-∠ADC-∠BAD）=sin（∠ADC+∠BAD）
=sin∠ADB•cos∠BAD+cos∠ADB•sin∠BAD=

4

5

×

12

13

+（-

3

5

）×

5

13

=

33

65

．
（Ⅱ）△ABD中，由正弦定理可得

AD

sin∠ABD

=

AB

sin∠ADB

，即

33

33 65

=

AB

4 5

，求得AB=52，
故△ABD的面积为S=

1

2

•AB•AD•sin∠BAD=

1

2

×52×33×

5

13

=

10

33

．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和的正弦公式、正弦定理的应用，属于基础题．