Question

15．已知命题p：?x∈R，${（\frac{1}{10}）^{x-3}}$≤cos2．若（?p）∧q是假命题，则命题q可以是（　　）

• A． 若-2≤m＜0，则函数f（x）=-x²+mx在区间（-4，-1）上单调递增
• B． “1≤x≤4”是“${log_{\frac{1}{5}}}$x≥-1”的充分不必要条件
• C． x=$\frac{π}{3}$是函数f（x）=cos 2x-$\sqrt{3}$sin 2x的一条对称轴
• D． 若a∈[$\frac{1}{2}$，6），则函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-alnx在区间（1，3）上有极值

Answer 1

分析 由已知可得命题p为假命题；若（?p）∧q是假命题，则q也是假命题；逐一四个答案中命题的真假，可得答案．

解答 解：cos2＜0，${（\frac{1}{10}）^{x-3}}$＞0恒成立，
故命题p：?x∈R，${（\frac{1}{10}）^{x-3}}$≤cos2为假命题；
若（?p）∧q是假命题，
则q也是假命题；
A中，若-2≤m＜0，则函数f（x）=-x²+mx在区间（-4，-1）上单调递增，为真命题；
B中，“1≤x≤4”是“${log_{\frac{1}{5}}}$x≥-1”的充分不必要条件
C中，x=$\frac{π}{3}$是函数f（x）=cos 2x-$\sqrt{3}$sin 2x=2cos（2x+$\frac{π}{3}$）的一条对称轴，为真命题；
D中，函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-alnx，f′（x）=x-$\frac{a}{x}$，当a=$\frac{1}{2}$时，f′（x）=x-$\frac{1}{2x}$＞0在区间（1，3）上恒成立，函数无极值，故D为假命题；
故选：D

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了充要条件，复合命题，函数的单调性，函数的对称性，函数的极值等知识点，难度中档．