Question

5．已知函数f（x）=x²-（a-1）x-a²
（1）若a=3，x∈[0，2]，求f（x）的最值；
（2）若a＜0，不等式sin²x+acosx+a²≥1+cosx的解集为R，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=3时，f（x）=x²-2x-3=（x-1）²-4，x∈[0，2]，由于对称轴为x=1，根据二次函数的性质即可求出值域．
（2）不等式进行等价转化为关于cosx的一元二次不等式，利用二次函数的性质和图象列不等式组求得答案．

解答 解：（1）当a=3时，f（x）=x²-2x-3=（x-1）²-4，x∈[0，2]，
∴对称轴为x=1，
∴函数f（x）在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，
∴f（x）_min=f（1）=-4，f（x）_max=f（0）=-3，
故值域为[-4，-3]
（2）不等式等价于1-cos²x+acosx+a²-1-cosx≥0，恒成立，
整理得-cos²x+（a-1）cosx+a²≥0，
设cosx=t，则-1≤t≤1，
g（t）=-t²+（a-1）t+a²，要使不等式恒成立需
$\left\{\begin{array}{l}{g（1）=-1+a-1+{a}^{2}≥0}\\{g（-1）=-1+a+1+{a}^{2}≥0}\\{a＜0}\end{array}\right.$，
解得a≤-2，
故a的取值范围为（-∞，-2]

点评 本题主要考查了一元二次不等式的解法，二次函数的性质．注重了对数形结合思想的运用和问题的分析．