Question

10．若圆x²+y²-2x-4y-1=0上存在两点关于直线2ax+by-2=0（a＞0，b＞0）对称，则$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最小值为（　　）

• A． 5
• B． 7
• C． $2\sqrt{2}$
• D． 9

Answer 1

分析 圆x²+y²-2x-4y-1=0上存在两点关于直线2ax+by-2=0（a＞0，b＞0）对称，说明直线经过圆心，推出a+b=1，代入$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$，利用基本不等式，确定最小值，推出选项．

解答 解：由圆的对称性可得，直线2ax+by-2=0必过圆心（1，2），
所以a+b=1．
所以$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$=（$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$）（a+b）=$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$+5≥4+5=9，
当且仅当$\frac{b}{a}$=$\frac{4a}{b}$，即2a=b时取等号，
∴$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最小值为9．
故选D

点评 本题考查关于点、直线对称的圆的方程，基本不等式，考查计算能力，是基础题．