Question

【题目】已知函数.

（1）求证：在上有极大值；

（2）求证：有且仅有两个不同的零点.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】

（1）先求出导函数，令，求出，利用导数确定函数的单调性，从而证明在上有极大值；

（2）分三种情况讨论来说明在各个区间的零点个数.当时，由（1）可证明在区间上有两个零点；当时，因为，令，利用导数说明在区间上恒成立，从而证明在区间上恒成立，则在区间上没有零点；当时，因为，设，同理可证得在区间上没有零点，综上可证明有且仅有两个不同的零点.

（1）设，则，

当时，.所以在上单调递减.

又因为，，

所以在上有唯一的零点，使.

所以当时，，即，所以当时，，即，

∴在上单调递增，在上单调递减，且，

故在上有极大值；

（2）由（1）知：当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减；

所以在上存在唯一的极大值点，

所以.

又因为，

所以在上恰有一个零点，

又因为，所以在上也恰有一个零点；

当时，，，设，，

所以在上单调递减，所以，

所以当时，恒成立，

所以在上没有零点；

当时，，设，，

所以在上单调递减，所以，

所以当时，恒成立，

所以在上没有零点，

综上，有且仅有两个零点.