Question

在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且a²-（b-c）²=（2-

3

）bc，sinAsinB=cos²

C

2

．
（1）求角A和角B的大小；
（2）若f（x）=sin（2x+C），将函数y=f（x）的图象向右平移

π

12

个单位后，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）的单调递减区间．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,正弦定理,余弦定理

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）将a²-（b-c）²=（2-

3

）bc，展开，根据余弦定理可求出cosA的值，进而得到角A的值；将角A的值代入sinAsinB=cos²

C

2

，再运用余弦函数的二倍角公式可得到sinB=1+cosC，再由B+C=

5π

6

可求出角C的值，最后根据三角形内角和为π得到角B的值．
（2）求出函数的解析式以及变换后的函数的解析式，利用余弦函数的单调性求出函数的单调减区间即可．

解答： 解：（1）由a²-（b-c）²=（2-

3

）bc得a²-b²-c²=-

3

bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

3

2

，A=

π

6

．
由sinAsinB=cos²

C

2

，得

1

2

sinB=

1+cosC

2

即sinB=1+cosC，
则cosC＜0，即C为钝角，故B为锐角，且B+C=

5π

6

，
则sin（

5

6

π-C）=1+cosC⇒cos（C+

π

3

）=-1⇒C=

2

3

π，
故B=

π

6

．
（2）由（1）可知f（x）=sin（2x+C）=sin（2x+

2π

3

），
将函数y=f（x）的图象向右平移

π

12

个单位后，得到函数y=g（x）的图象，
∴函数g（x）=sin[2（x-

π

12

）+

2π

3

]=cos2x，
由余弦函数的性质可知：2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z，
解得：kπ≤x≤kπ+

π

2

，k∈Z．
函数g（x）的单调递减区间：[kπ，kπ+

π

2

]，k∈Z．

点评：本题主要考查余弦定理和三角形面积公式的应用．在做这种题型时经常要用三内角之间的相互转化，即用其他两个角表示出另一个的做法．余弦函数的单调性以及三角函数的图象的平移变换．