Question

已知函数f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且f（A）=2，b=1，且△ABC的面积为

3

，求边a的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象,正弦定理

专题：常规题型,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：第（Ⅰ）问求函数的单调区间，要先把函数化成标准形式，即化成y=Asin（ωx+φ）+B的形式；第（Ⅱ）问根据f（A）=2求出角A，然后根据△ABC的面积为

3

，结合余弦定理求出a的值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2cos²x+

3

sin2x=cos2x+

3

sin2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z
解得，kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z
∴f（x）的递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）
（Ⅱ）由f（A）=2sin（2A+

π

6

）+1=2，得A=

π

3

S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

∴c=4，
由余弦定理得a²=1+4²-2×1×4×cos

π

3

∴a=

13

．

点评：本题考查了求函数的单调区间，关键是化成标准形式；还考查了解三角形，注意根据条件选择适当的面积公式及正余弦定理．