Question

为了分析我校市二模文科数学的成绩，现抽样统计了20位同学的数学成绩，形成了如图所示的频率分布直方图，其中成绩的分组区间是：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130]
（Ⅰ）求图中a的值；
（Ⅱ）根据直方图，估计这20位学生数学成绩的平均分；
（Ⅲ）若从成绩在[110，120），[120，130]的同学中随机抽取两位同学，求他们的数学成绩之差超过10分的概率．

Answer 1

考点：古典概型及其概率计算公式,频率分布直方图

专题：概率与统计

分析：（I）由各组数据的累积频率为1，可以构造关于a的方程，解方程可得a的值；
（Ⅱ）累加各组数据的组中值与频率的积，可估算出这20位学生数学成绩的平均分；
（Ⅲ）记成绩在[110，120）的4位同学分别为：a₁，a₂，a₃，a₄，记成绩在[120，130]的1位同学为：b，列举出从中随机抽取两位同学的所有基本事件个数，及他们的数学成绩之差超过10分的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．

解答： 解：（I）由各组数据的累积频率为1：
∴（2a+0.02+0.03+0.04）×10=1，
∴a=0.005．
（II）由85×0.05+95×0.4+105×0.3+115×0.2+125×0.5=103，
估计这20位同学的平均分为103分，
（III）记成绩在[110，120）的4位同学分别为：a₁，a₂，a₃，a₄，
记成绩在[120，130]的1位同学为：b，
则从5人中任取2人，共计10种可能：

(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b)，(a2，a3) (a2，a4)，(a2，b)，(a3，a4)，(a3，b)，(a4，b)

，
成绩相差超过10分的结果有4种，
故P=

2

5

点评：本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．