Question

6．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=2且c（cosA+cosB）=-（a+b）cos（A+B）．
（1）求角C的大小；
（2）若$\frac{1}{2}$≤cosA$≤\frac{\sqrt{2}}{2}$，求b边的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理将角化边，结合内角和定理得出C；
（2）根据正弦定理用A表示出b，根据A的范围得出b的最值．

解答 解：（1）△ABC中，∵c（cosA+cosB）=-（a+b）cos（A+B），
∴sinCcosA+sinCcosB=sinAcosC+sinBcosC，
即sin（C-A）=sin（B-C）．
∴C-A=B-C．即2C-A-B=0，
又∵A+B+C=0，∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，即$\frac{2}{sinA}=\frac{b}{sin（\frac{2π}{3}-A）}$，
∴b=$\frac{\sqrt{3}cosA+sinA}{sinA}$=$\sqrt{3}$cotA+1．
∵$\frac{1}{2}$≤cosA$≤\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$\frac{π}{4}≤A≤\frac{π}{3}$．∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤cotA≤1．
∴当cotA=1时，b取得最大值$\sqrt{3}+1$．

点评 本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角函数的恒等变换，属于中档题．