Question

已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=-f（x+2），且当x∈[-2，0]时，f(x)=(

1

2

)x-1，若在x∈[-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（　　）

• A、（1，2）
• B、（2，+∞）
• C、(

  3	4

  ，2)
• D、(1，

  3	4

  )

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：由f（x）=-f（x+2），推出函数的周期是4，根据函数f（x）是偶函数，得到函数f（x）在一个周期内的图象，利用方程和函数之间的关系，转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合确定满足的条件即可得到结论．

解答： 解：由f（x）=-f（x+2），得f（x+2）=-f（x），即f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即函数f（x）的周期为4，
∵当x∈[-2，0]时，f(x)=(

1

2

)x-1，
∴若x∈[0，2]，则-x∈[-2，0]，
则f（-x）=(

1

2

)-x-1=2x-1，
∵f（x）是偶函数，
∴f（-x）=(

1

2

)-x-1=2x-1=f（x），
即f（x）=2^x-1，x∈[0，2]，
由f（x）-log_a（x+2）=0得f（x）=log_a（x+2），
作出函数f（x）的图象如图：如0＜a＜1，函数g（x）=log_a（x+2）单调递减，此时只有1个交点，不满足条件，（虚线图象）．
当a＞1时，要使方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3个不同的实数根，
则等价为函数f（x）与g（x）=log_a（x+2）有3个不同的交点，
则满足

g(2)＜f(2) g(6)＞f(6)

，即

loga4＜3 loga8＞3

，
解得

3	4

＜a＜2，
故a的取值范围是(

3	4

，2)，
故选：C．

点评：本题主要考查函数零点的个数判断，利用函数和方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用分段函数的表达式，作出函数f（x）的图象是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．