Question

设f（x）=|x-1|（x+1）-x，若关于x的方程f（x）=k有三个不同的实数解，则实数k的取值范围是（　　）

• A、1＜k＜

  5

  4

• B、-1＜k＜

  5

  4

• C、0＜k＜1
• D、-1＜k＜1

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：画出函数f（x）=|x-1|（x+1）-x的图象，分析k取不同值时，函数图象与直线y=k交点的个数，可得答案．

解答： 解：∵f（x）=|x-1|（x+1）-x=

-x2-x+1，x≤1 x2-x-1，x＞1

=

-(x+ 1 2 )2+ 5 4 ，x≤1 (x- 1 2 )2- 5 4 ，x＞1

，
若x∈（-∞，1]，则x=-

1

2

时，函数y=f（x）取得最大值

5

4

，当x∈[1，+∞），则x=1时，函数y=f（x）取得最小值1，
其图象如下图所示：

由图可知，当-1＜x＜

5

4

时，函数y=f（x）的图象与直线y=k的交点的个数是3个，即关于x的方程f（x）=k有三个不同的实数解，
故实数k的取值范围是（-1，

5

4

），
故选：B．

点评：本题考查函数的零点与根的存在性及根的个数判断，将关于x的方程f（x）=k的解的个数转化为函数y=f（x）的图象与直线y=k的交点的个数是关键，考查作图与运算能力，属于中档题．