【题目】已知椭圆:
,过点
且与
轴不重合的直线与
相交于
两点,点
,直线
与直线
交于点
.
(1)当垂直于
轴时,求直线
的方程;
(2)证明:.
【答案】(1);(2)详见解析.
【解析】
(1)当垂直于
轴时,其方程为
,求出点
的坐标后可得直线
的斜率,于是可得直线方程。(2)由于
在
轴上,所以只需证明点
的纵坐标相等即可得到结论成立,解题时注意直线方程的设法.
(1)设点,
当垂直于
轴时,可得
,所以
,
所以点的坐标为
,
又,
所以,
所以直线的方程为
.
(2)法一:
①当直线的斜率不存在时,其方程为
,
若,则
,此时
方程为
,当
时,
,所以
,因此
,所以
.
若,则
,此时
方程为
,当
时,
,所以
,因此
,所以
.
综上可得.
②当直线的斜率存在时,设
,
由 消去y整理得
,
其中,
设,
,则
,
因为,
所以直线的方程为
当时,得
,
因为
.
所以,
所以.
法二:
设直线,
由消去x整理得
,
其中,
设,
,则
,
所以,故
所以
.
因为,
所以直线的方程为
,
当时,得
,
所以,
所以.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为(t为参数,0).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为
.
(Ⅰ)写出曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ)若直线l与曲线C交于A,B两点,且AB的长度为2,求直线l的普通方程.
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【题目】学生学习的自律性很重要.某学校对自律性与学生成绩是否有关进行了调研,从该校学生中随机抽取了100名学生,通过调查统计得到列联表的部分数据如下表:
自律性一般 | 自律性强 | 合计 | |
成绩优秀 | 40 | ||
成绩一般 | 20 | ||
合计 | 50 | 100 |
(1)补全列联表中的数据;
(2)判断是否有的把握认为学生的自律性与学生成绩有关.
参考公式及数据:.
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】如图,在多面体中,
均垂直于平面
,
,
,
,
.
(1)过的平面
与平面
垂直,请在图中作出
截此多面体所得的截面,并说明理由;
(2)若,
,求多面体
的体积.
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【题目】已知函数f(x)=|3x+2|.
(1)解不等式f(x)<4-|x-1|;
(2)已知m+n=1(m,n>0),若|x-a|-f(x)≤(a>0)恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】设椭圆(
)的左、右焦点为
,右顶点为
,上顶点为
.已知
.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设为椭圆上异于其顶点的一点,以线段
为直径的圆经过点
,经过原点
的直线
与该圆相切,求直线
的斜率.
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【题目】如图所示,在梯形CDEF中,四边形ABCD为正方形,且,将
沿着线段AD折起,同时将
沿着线段BC折起,使得E,F两点重合为点P.
求证:平面
平面ABCD;
求直线PB与平面PCD的所成角的正弦值.
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【题目】某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”,规则如下:
①3小时以内(含3小时)为健康时间,玩家在这段时间内获得的累积经验值单位:
与游玩时间
小时)满足关系式:
;
②3到5小时(含5小时)为疲劳时间,玩家在这段时间内获得的经验值为即累积经验值不变);
③超过5小时为不健康时间,累积经验值开始损失,损失的经验值与不健康时间成正比例关系,比例系数为50.
⑴当时,写出累积经验值E与游玩时间t的函数关系式
,并求出游玩6小时的累积经验值;
⑵该游戏厂商把累积经验值E与游玩时间t的比值称为“玩家愉悦指数”,记作;若
,且该游戏厂商希望在健康时间内,这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24,求实数a的取值范围.
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