Question

8．正三角形ABC的两个顶点A，B在抛物线x²=2py（p＞0）上，另一个顶点C是此抛物线焦点，则满足条件的三角形ABC的个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由题意可知：x²=2py（P＞0）的焦点F（0，$\frac{p}{2}$），则两个边的斜率k=±tan60°=±$\sqrt{3}$，其方程为：y=±$\sqrt{3}$x+$\frac{p}{2}$，每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形．满足条件的三角形ABC的个数为2，

解答 解：由抛物线x²=2py（P＞0）的焦点F（0，$\frac{p}{2}$），
等边三角形的一个顶点位于抛物线x²=2py（P＞0）的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则等边三角形关于x轴轴对称
两个边的斜率k=±tan60°=±$\sqrt{3}$，其方程为：y=±$\sqrt{3}$x+$\frac{p}{2}$，
每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形．
满足条件的三角形ABC的个数为2，
故选C．

点评 本题主要考查了抛物线的简单性质．主要是利用抛物线和正三角形的对称性，考查数形结合思想，属于基础题．