Question

（本小题满分14分）已知直线上有一个动点，过点作直线垂直于轴，动点在上，且满足（为坐标原点），记点的轨迹为．

（1）求曲线的方程；

（2）若直线是曲线的一条切线，当点到直线的距离最短时，求直线的方程．

Answer 1

（1）；（2）或.

【解析】

试题分析：本题主要考查抛物线的标准方程、点到直线的距离公式、向量的数量积、均值定理等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，设出P、Q点坐标，由题意知，，利用两直线的斜率相乘为-1，得到曲线C的方程；第二问，设出直线的方程，与曲线C的方程联立，由于直线是曲线的一条切线，所以，解出，再利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离d，利用均值定理求出d的最小值，并求出等号成立的条件，即k的值，从而得到直线的方程.

试题解析：（1）设点的坐标为,则点的坐标为.

∵,

∴. （或者用向量：，且得出）

当时,得,化简得. 2分

当时, 、、三点共线，不符合题意，故.

∴曲线的方程为. 4分

（2）解法1:∵ 直线与曲线相切,

∴直线的斜率存在.

设直线的方程为, 5分

由 得.

∵ 直线与曲线相切, 则 ,即.

∴ 直线的方程为 6分

∴ 点到直线的距离 7分

8分

9分

. 10分

当且仅当，即时，等号成立.此时. 12分

∴直线的方程为或. 14分

解法2：由，得， 5分

∵直线与曲线相切, 设切点的坐标为，其中，

则直线的方程为：，化简得. 6分

点到直线的距离 7分

8分

9分

. 10分

当且仅当，即时，等号成立. 12分

∴直线的方程为或. 14分

解法3：由，得， 5分

∵直线与曲线相切, 设切点的坐标为，其中，

则直线的方程为：，化简得. 6分

点到直线的距离 7分

8分

9分

. 10分

当且仅当，即时，等号成立,此时. 12分

∴直线的方程为或. 14分

考点：抛物线的标准方程、点到直线的距离公式、向量的数量积、均值定理.