Question

9．已知函数f（x）=$\frac{e^x}{x-ae}$的极值点为2e+1．（这里的 是自然对数的底）
（1）求实数a的值；
（2）若数列{a_n}满足a_n=f（n），问：数列{a_n}是否存在最小项？若存在，求出该最小项；若不存在，请说明再由；
（3）求证：f（2e+1）•f（2e+2）•…•f（2e+n）＞（n+1）e^2ne．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出a的值，检验即可；
（2）求出函数的导数，根据f（x）的单调性求出数列{a_n}存在最小项为${a_5}=\frac{e^5}{5-2e}$；
（3）问题转化为e•e²•…•eⁿ＞2•3•…•（n+1），设函数g（x）=e^x-x-1（x＞0），根据函数的单调性求出g（x）＞g（0）=0，从而证出结论．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{e^x}{x-ae}$，∴$f'（x）=\frac{{（{x-ae-1}）{e^x}}}{{{{（{x-ae}）}^2}}}$…（2分）
∵$f（x）=\frac{e^x}{x-ae}$的极值点为2e+1，∴f'（2e+1）=0，解得a=2，
经检验，a=2符合题意，∴a=2．　…（4分）
（2）数列{a_n}存在最小项．证明如下：
由（1）知，f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x-2e}$，
∴当x＞2e时，f（x）＞0，当x＜2e时，f（x）＜0．
即当n≥6时，a_n＞0，而当n≤5时，a_n＜0．…（6分）
以下判断a₁，a₂，…，a₅中的最小项：
∵当x＜2e时，$f'（x）=\frac{{（{x-2e-1}）{e^x}}}{{{{（{x-2e}）}^2}}}＜0$，f（x）在（0，2e）上单调递减，
∴f（1）＞f（2）＞…＞f（5），即a₁＞a₂＞…＞a₅，
∴数列{a_n}存在最小项为${a_5}=\frac{e^5}{5-2e}$．…（8分）
（3）∵f（2e+1）•f（2e+2）•…•f（2e+n）＞（n+1）e^2ne，
$?\frac{{{e^{2e+1}}}}{1}•\frac{{{e^{2e+2}}}}{2}•…•\frac{{{e^{2e+n}}}}{n}＞（{n+1}）{e^{2n\;e}}$$?\frac{{{e^{2e+1}}}}{1}•\frac{{{e^{2e+2}}}}{2}•…•\frac{{{e^{2e+n}}}}{n}＞（{n+1}）{e^{2n\;e}}$
?e•e²•…•eⁿ＞2•3•…•（n+1），…（10分）
设函数g（x）=e^x-x-1（x＞0），
则g'（x）=e^x-1＞0（x＞0），
g（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴g（x）＞g（0）=0，
即当x＞0时，e^x＞x+1，当x分别取1，2，…n，再相乘，
得：e•e²•…•eⁿ＞2•3•…•（n+1）成立，
∴f（2e+1）•f（2e+2）•…•f（2e+n）＞（n+1）e^2ne．　…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，转化思想、分类讨论思想，是一道综合题．