Question

17．下列命题：
（1）若f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0]上是增函数，|θ|∈（$\frac{π}{4}，\frac{π}{2}$），则f（sinθ）＞f（cosθ）；
（2）若锐角α、β满足cosα＜sinβ，则α+β＜$\frac{π}{2}$；
（3）在△ABC中，如果A＞B成立，则一定有sinA＞sinB成立；
（4）在△ABC中，如果有sin2A=sin2B，则该三角形一定为等腰三角形．
其中真命题的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用函数的奇偶性和单调性，可判断（1）；利用诱导公式，可判断（2）；利用正弦定理，可判断（3）；判断出三角形的形状，可判断（4）．

解答 解：∵f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0]上是增函数，
故f（x）在[0，1]上是减函数，
故当a，b∈[-1，1]时，有|a|＜|b|，则f（|a|）＞f（|b|）；
当|θ|∈（$\frac{π}{4}，\frac{π}{2}$）时，1＞|sinθ|＞|cosθ|＞0；
∴f（sinθ）＜f（cosθ），故（1）错误；
若锐角α、β满足cosα=sin（$\frac{π}{2}$-α）＜sinβ，
则$\frac{π}{2}$-α＜β，即α+β＞$\frac{π}{2}$，故（2）错误；
在△ABC中，如果A＞B?a＞b?2RsinA＞2RsinB?sinA＞sinB成立，故（3）正确；
在△ABC中，如果有sin2A=sin2B，
则2A=2B，或2A+2B=π，
即A=B，或C=$\frac{π}{2}$
则该三角形一定为等腰三角形或直角三角形，故（4）错误；
故选：A．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的图铃和性质，诱导公式，三角函数的单调性，正弦定理，难度中档．