Question

【题目】如图,四面体中, 是正三角形, 是直角三角形, ,.

（1）证明:平面平面;

（2）过的平面交于点,若平面把四面体分成体积相等的两部分,求二面角的大小。

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）。

【解析】

（1）如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．△ABC是等边三角形，可得OB⊥AC．由已知可得：△ABD≌△CBD，AD=CD．△ACD是直角三角形，可得AC是斜边，∠ADC=90°．可得DO=AC．利用DO2+BO2=AB2=BD2．可得OB⊥OD．利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明；

（2）由平面把四面体分成体积相等的两部分,明确为中点, 易知二面角的平面角为.

（1）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．

∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC．

△ABD与△CBD中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD，

∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．

∵△ACD是直角三角形，

∴AC是斜边，∴∠ADC=90°．

∴DO=AC．

∴DO2+BO2=AB2=BD2．

∴∠BOD=90°．

∴OB⊥OD．

又DO∩AC=O，∴OB⊥平面ACD．

又OB平面ABC，

∴平面ACD⊥平面ABC．

（2）∵平面把四面体分成体积相等的两部分,

∴,∴.

∴即为中点,

由（1）知为直角三角形，则

又，

∴为等边三角形，故 。

由（1）知则AE=CE,

所以,

又，

则二面角的平面角为，且二面角的大小为。