Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短轴长为2，右焦点F与抛物线y²=4x的焦点重合．
（I）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过点(0，-

1

3

)且斜率为k的直线l与椭圆C交于A、B两点，求证：以AB为直径的圆必过y轴上的一定点M，并求出点M的坐标．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（I）根据短轴长为2，右焦点F与抛物线y²=4x的焦点重合，求出椭圆方程中b、c的值，再求出a的值即可；
（Ⅱ）设出直线l的方程，点A、B、M的坐标，利用直线与椭圆方程联立，求出

MA

•

MB

的表达式，令

MA

•

MB

=0，求出m的值，即得结论．

解答： 解：（I）根据题意，得；
2b=2，即b=1，
又∵抛物线y²=4x的焦点坐标为（1，0），
即F（1，0），
∴c=1，∴a²=2，
∴椭圆的方程为

x2

2

+y²=1；
（Ⅱ）设过点(0，-

1

3

)且斜率为k的直线l的方程为y=kx-

1

3

，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（0，m）；
则由

x2 2 +y2=1 y=kx- 1 3

，得x²+2(kx-

1

3

)2-2=0，
整理，得（2k²+1）x²-

4

3

kx-

16

9

=0，
显然△＞0，且x₁+x₂=

4k

3(2k2+1)

，x₁x₂=

-16

9(2k2+1)

；
∴y₁+y₂=（kx₁-

1

3

）+（kx₂-

1

3

）=k（x₁+x₂）-

2

3

=

4k2

3(2k2+1)

-

2

3

=

-2

3(2k2+1)

；
y₁y₂=（kx₁-

1

3

）（kx₂-

1

3

）=k²x₁x₂-

k

3

（x₁+x₂）+

1

9

=k²•

-16

9(2k2+1)

-

k

3

•

4k

3(2k2+1)

+

1

9

=

-18k2+1

9(2k2+1)

；
∵

MA

=（x₁，y₁-m），

MB

=（x₂，y₂-m），
∴

MA

•

MB

=x₁x₂+（y₁-m）（y₂-m）=x₁x₂+y₁y₂-m（y₁+y₂）+m²
=

-16

9(2k2+1)

-18k2+1

9(2k2+1)

-m•

-2

3(2k2+1)

+m²
=

-16-18k2+1+6m+9m2(2k2+1)

9(2k2+1)

=

18(m2-1)k2+9m2+6m-15

9(2k2+1)

；
令

MA

•

MB

=0，
得18（m²-1）k²+9m²+6m-15=0，
又∵k∈R，∴

m2-1=0 9m2+6m-15=0

；
解得m=1；
∴当m=1时，恒有

MA

•

MB

=0；
∴以AB为直径的圆必过y轴上的一定点M，此时点M的坐标为（0，1）．

点评：本题考查了求椭圆的标准方程的应用问题，也考查了向量与圆锥曲线的综合应用问题以及直线与圆锥曲线的综合应用问题，是难题．