Question

19．已知数列{a_n}为等差数列，a₁+a₃+a₅=9，a₂+a₄+a₆=3，数列{a_n}的前n项和为S_n，则$\frac{{a}_{n}-{S}_{n}}{n}$的最小值为-4．

Answer 1

分析 利用等差数列的通项公式及其求和公式可得a_n，S_n，代入利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₁+a₃+a₅=9，a₂+a₄+a₆=3，
∴3a₁+6d=9，3a₁+9d=3，
联立解得d=-2，a₁=7．
∴a_n=7-2（n-1）=9-2n，数列{a_n}的前n项和为S_n=$\frac{n（7+9-2n）}{2}$=8n-n²．
则$\frac{{a}_{n}-{S}_{n}}{n}$=$\frac{9-2n-（8n-{n}^{2}）}{n}$=$\frac{9}{n}$+n-10≥2$\sqrt{\frac{9}{n}•n}$-10=-4，当且仅当n=3时取等号．
故答案为：-4．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．