Question

14．已知曲线y=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{4}{3}$
（1）求曲线在x=2处的切线方程；
（2）求曲线过点（2，4）的切线方程．

Answer 1

分析 （1）求出曲线对应函数的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；
（2）设切点A（x₀，$\frac{1}{3}$x₀³+$\frac{4}{3}$），可得切线的斜率和切线的方程，代入点（2，4），解方程可得切点的横坐标，进而得到所求切线的方程．

解答 解：（1）y=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{4}{3}$的导数为y′=x²，
可得在点P（2，4）处的切线的斜率k=y′|_x=2=4，
即有曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4（x-2），
即4x-y-4=0．
（2）设曲线y=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{4}{3}$与过点P（2，4）的切线相切于点A，
设A（x₀，$\frac{1}{3}$x₀³+$\frac{4}{3}$），
则切线的斜率k=y′|${\;}_{x={x}_{0}}$=x₀²．
则切线方程为y-（$\frac{1}{3}$x₀³+$\frac{4}{3}$）=x₀²（x-x₀），
即y=x₀²•x-$\frac{2}{3}$x₀³+$\frac{4}{3}$，
∵点P（2，4）在切线上，
∴4=2x₀²-$\frac{2}{3}$x₀³+$\frac{4}{3}$，
即x₀³-3x₀²+4=0，∴x₀³+x₀²-4x₀²+4=0，
∴x₀² （x₀+1）-4（x₀+1）（x₀-1）=0，
∴（x₀+1）（x₀-2）²=0，解得x₀=-1或x₀=2，
故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，注意在某点处和过某点的切线的区别，属于中档题和易错题．