Question

4．以下四个命题：
①设回归直线方程$\widehat{y}$=0.2x+12，则 x每增加一个单位时，$\widehat{y}$平均减少0.2个单位；
②在极坐标系中，圆ρ=cosθ与直线ρcosθ=1相切；
③函数y=$\frac{1}{x}$在定义域内为减函数；
④若y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=$\frac{1}{2}$x+2，则f（1）+f'（1）=3．
其中真命题的序号为②④．

Answer 1

分析 根据回归系数的几何意义可判断①；
求出直线与圆的直角坐标系方程，可判断直线与圆的位置关系，可判断②；
根据反比例函数的图象和性质，可判断③；
根据切线方程，求出f（1），f'（1）的值，可判断④．

解答 解：①若回归直线方程$\widehat{y}$=0.2x+12，则 x每增加一个单位时，$\widehat{y}$平均增加0.2个单位；故错误；
②圆ρ=cosθ与直线ρcosθ=1的直角坐标系方程分别为：
（x-$\frac{1}{2}$）²+y²=$\frac{1}{4}$；x=1，
圆心（$\frac{1}{2}$，0）到直线x=1的距离d=$\frac{1}{2}$=r，
故直线与圆相切，故正确
③函数y=$\frac{1}{x}$在（-∞，0）∪（0，+∞）内为减函数，但在定义域内不具单调性，故错误；
④若y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=$\frac{1}{2}$x+2，
则f（1）=$\frac{5}{2}$，f'（1）=$\frac{1}{2}$．
则f（1）+f'（1）=3．故正确；
故答案为：②④．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了回归系数的几何意义，极坐标方程，函数的单调性，切线方程，难度中档．